当A的所有顺序主子式都不为0时,矩阵A可以分解为

,且分解唯一,其中L是下三角矩阵,U是上三角矩阵。
非奇异矩阵的方阵A,

,P是置换矩阵。
1)Doolittle分解,

,这里L是单位下三角矩阵,U是上三角矩阵
这里我们将U的对角元提取出来,形成对角阵D,我们知道

也是上三角矩阵,并且是单位上三角矩阵,所以我们有:
2)LDU分解:

,L是单位下三角矩阵,

是单位上三角矩阵
3)Crout分解:

,

,和L一样,

也是下三角矩阵,

是单位上三角矩阵
默认的LU分解就是指Doolittle分解。
参考:
Mt_decompose_lu