典型性分析算法说明：
典型相关分析是用来分析两组随机变量之间的相关性程度的一种统计方法，它能够有效地解释两组随机变量之间相互线性依赖的关系。
比如在实际问题中，经常遇到一部分变量和另一部分变量之间的相互关系。例如，在经济学中研究商品价格的相关指标和销售的相关指标之间的关系；在地质学中，研究岩石形成的成因关系，考察岩石的化学成分与其周围化学成分的相关性；教育学中，考察学生入学考试成绩和本科阶段一些主要课程成绩的相关性；在统计学中，也可以用来做随机变量之间的多重共线性判断和重构随机变量组，改进随机变量之间多重共线性问题，使得回归分析等结果更加合理，等等。
一般地，假设有两组随机变量和研究它们的相关关系，当p=q=1时，就是通常两个随机变量之间的相关关系；当p>1,q>1时，采用类似主成分分析的方法，找出的线性组合U和的线性组合V，即：U=，，于是将研究两组变量的相关性问题转化成研究两个变量的相关性问题，并且可以适当的调整系数a 和b，使得U和V的相关性达到最大，称这种相关为典型相关，基于这种原则的分析方法称为典型相关分析。
第一步，先定义典型相关，设X=和Y=为随机向量，用X和Y的线性组合和之间相关性来研究X与Y之间的相关性，并希望找到a与b，使得最大。由相关系数定义，

(4. 1)

对任意的α，β和c，d有

(4. 2)

式(4.2)说明，使得相关系数最大的和并不唯一。因此，在综合变量，可限定，。

总结一下第一步，设X=和Y=，p+q维随机向量的均值为0，协方差阵正定。若存在a1=和b1=，使得是约束问题

	max	(4. 3)
	s.t.	(4. 4)
		(4. 5)

目标函数的最大值，则成，为的第一对典型变量，称它们之间的相关系数为第一典型相关系数。

如果存在和使得
和前面的k-1对典型变量都不相关；
;
和相关系数最大
则称，为的第k对典型变量，称它们之间的相关系数为第k典型相关系数典型相关系数。

第二步，下面直接给出计算过程所需的重要推导步骤以及计算过程：
设Z=，则有，，令，，因此，求解第一对典型变量和典型相关系数的约束问题式(4.3)~(4.5)就等价为

	max	(4. 6)
	s.t.	(4. 7)
		(4. 8)

这是一个典型的约束优化问题，这里采用拉格朗日乘数法求解该约束问题，其中为Lagrange乘子，得到如下方程：

		(4. 9)
		(4. 10)
		(4. 11)
		(4. 12)

求解上述方程组，在式(4.6)左乘，在式(4.7)左乘，然后将式(4.8)代入式(4.6)，将式(4.9)代入式(4.7)，得到结果。由于正定(在第一步中有定义，即使没有定义的情况下协方差矩阵也是半正定的)，所以和存在，先将式(4.6)和(4.7)中和移到等号右边，然后再分别左乘和，得到

，

(4. 13)

然后将代入式中,所以有

(4. 14)

同理，可得

(4. 15)

其中,。
因此，是矩阵特征根(注意，和具有相同的特征根)，是的特征根对应的特征向量，是的特征根对应的特征向量。
由于，式(4.9)和式(4.11)可得。所以典型相关系数就是和共有根号下的特征根。
因此，优化问题式(4.3)~式(4.5)的解和就是求或最大特征跟相应的特征向量和。
计算步骤如下：
令;
计算最大的特征根和对应的特征向量，令，，,则为第一对典型相关系数，，为第一对典型变量。
对于第k对典型变量的求解方法类似于第一对典型相关变量，只需要将（2）改为
计算最大的特征根和对应的特征向量，令，，，则是第k对典型相关系数，，为第k对典型变量。
第三步，由于在实际中，设，和，所以无法求出典型变量和典型相关系数，需要用样本数据估计样本协方差矩阵。
已知，总体Z的n次观测数据

于是可给出Z的样本资料矩阵为


假设Z~Np+q(μ,∑)，则样本协方差的极大似然估计为

其中，称为样本协方差矩阵。具体计算过程和第二步中的计算步骤基本相同，只需要将替换为即可求解。
实例1：
某康复俱乐部对两组指标的典型相关性分析
某康复俱乐部对20名中年人测量了3个生理指标：体重（X1）、腰围（X2）、脉搏（X3）和三个训练指标：引体向上（Y1）、仰卧起坐次数（Y2）、跳跃次数（Y3）
表1 ：某康复俱乐部两组生理指标的典型相关分析

编号	X1	X2	X3	Y1	Y2	Y3
1	191	36	50	5	162	60
2	193	38	58	12	101	101
3	189	35	46	13	155	58
4	211	38	56	8	101	38
5	176	31	74	15	200	40
6	169	34	50	17	120	38
7	154	34	64	14	215	105
8	193	36	46	6	70	31
9	176	37	54	4	60	25
10	156	33	54	15	225	73
11	189	37	52	2	110	60
12	162	35	62	12	105	37
13	182	36	56	4	101	42
14	167	34	60	6	125	40
15	154	33	56	17	251	250
16	166	33	52	13	210	115
17	247	46	50	1	50	50
18	202	37	62	12	210	120
19	157	32	52	11	230	80
20	138	33	68	2	110	43

实例2：企业经济效益典型相关分析
某市为了全面分析机械类各企业的经济效益，选择了8个不同的利润指标，14家企业关于这8个指标的统计数据如表4-1所示.
表2：机械类各企业的经济效益主成分分析

企业	X1净产值利润率%	X2固定资产利润率%	X3总产值利润%	X4销售收入利润率%	Y1产品成本利润率%	Y2物耗利润率%	Y3人均利润率千元/人	Y4流动资金利润率%
1	40.4	24.7	7.2	6.1	8.3	8.7	2.44	20.0
2	25.0	12.7	11.2	11.0	12.9	20.2	3.542	9.1
3	13.2	3.3	3.9	4.3	4.4	5.5	0.578	3.6
4	22.3	6.7	5.6	3.7	6.0	7.4	0.176	7.3
5	34.3	11.8	7.1	7.1	8.0	8.9	1.726	27.5
6	35.6	12.5	16.4	16.7	22.8	29.3	3.017	26.6
7	22.0	7.8	9.9	10.2	12.6	17.6	0.847	10.6
8	48.4	13.4	10.9	9.9	10.9	13.9	1.772	17.8
9	40.6	19.1	19.8	19.0	29.7	39.6	2.449	35.8
10	24.8	8.0	9.8	8.9	11.9	16.2	0.789	13.7
11	12.5	9.7	4.2	4.2	4.6	6.5	0.874	3.9
12	1.8	0.6	0.7	0.7	0.8	1.1	0.056	1.0
13	32.3	13.9	9.4	8.3	9.8	13.3	2.126	17.1
14	38.5	9.1	11.3	9.5	12.2	16.4	1.327	11.6

数据返回结论分析：
首先说明XCenter和YCenter返回结果都为零是因为做了数据标准化的结果。从Cor我们可以看出X和Y这两组随机变量之间具有很高的相似度，第一对典型相关系数达到100%的相似度。在这里想说明的是，如果在对类似数据进行回归分析的时候，回归诊断发现了比较严重的多重共线性的时候，此时可以运用典型相关分析的方法，提取出典型相关成都最高的第一对典型相关组合U或者V来代替之前出现多重共线性的随机变量，从而消除和改进回归模型的病态和精度。